Простые числа

Свойства простых чисел впервые начали изучать математики Древней Греции. Математики пифагорейской школы (500 — 300 до н. э.) в первую очередь интересовались мистическими и нумерологическими свойствами простых чисел. Они первыми пришли к идеям о совершенных и дружественных числах.
Простые числа делятся без остатка на единицу и на самих себя. Они — основа арифметики и всех натуральных чисел. То есть тех, которые возникают естественным образом при счете предметов, например, яблок. Любое натуральное число это произведение каких-нибудь простых чисел. И тех и других — бесконечное множество.
Простые числа, кроме 2 и 5, заканчиваются на 1, на 3, на 7 или на 9. Считалось, что они распределены случайным образом. И за простым числом, оканчивающимся, к примеру, на 1 может с равной вероятностью - в 25 процентов - следовать простое число, которое оканчивается на 1, 3, 7, 9.

Простые числа — это целые числа больше единицы, которые не могут быть представлены как произведение двух меньших чисел. Таким образом, 6 — это не простое число, так как оно может быть представлено как произведение 2×3, а 5 — это простое число, потому что единственный способ представить его как произведение двух чисел — это 1×5 или 5×1. Если у вас есть несколько монет, но вы не можете расположить их все в форме прямоугольника, а можете только выстроить их в прямую линию, ваше число монет — это простое число.

 

У совершенного числа сумма его собственных делителей равна ему самому.

1. Например, собственные делители числа 6: 1, 2 и 3. 1 + 2 + 3 = 6.
2. У числа 28 делители — это 1, 2, 4, 7 и 14. При этом, 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28.

Числа называются дружественными, если сумма собственных делителей одного числа равна другому, и наоборот — например, 220 и 284. Можно сказать, что совершенное число является дружественным для самого себя.
Ко времени появления работы Евклида «Начала» в 300 году до н. э. уже было доказано несколько важных фактов касательно простых чисел. В книге IX «Начал» Эвклид доказал, что простых чисел бесконечное количество. Это, кстати, один из первых примеров использования доказательства от противного. Также он доказывает Основную теорему арифметики — каждое целое число можно представить единственным образом в виде произведения простых чисел.

Также он показал, что если число 2n-1 является простым, то число 2n-1 * (2n-1) будет совершенным. Другой математик, Эйлер, в 1747 году сумел показать, что все чётные совершенные числа можно записать в таком виде. По сей день неизвестно, существуют ли нечётные совершенные числа.

В году 200 году до н. э. грек Эратосфен придумал алгоритм для поиска простых чисел под названием «Решето Эратосфена».

Никто точно не знает, в каком обществе стали впервые рассматривать простые числа. Их изучают так давно, что у ученых нет записей тех времен. Есть предположения, что некоторые ранние цивилизации имели какое-то понимание простых чисел, но первым реальным доказательством этого являются египетские записи на папирусах, сделанные более 3500 лет назад.

Древние греки, скорее всего, были первыми, кто изучал простые числа как предмет научного интереса, и они считали, что простые числа важны для чисто абстрактной математики. Теорему Евклида по-прежнему изучают в школах, несмотря на то что ей уже больше 2000 лет.

После греков серьезное внимание простым числам снова уделили в XVII веке. С тех пор многие известные математики внесли важный вклад в наше понимание простых чисел. Пьер де Ферма совершил множество открытий и известен благодаря Великой теореме Ферма, 350-летней проблеме, связанной с простыми числами и решенной Эндрю Уайлсом в 1994 году. Леонард Эйлер доказал много теорем в XVIII веке, а в XIX веке большой прорыв был сделан благодаря Карлу Фридриху Гауссу, Пафнутию Чебышёву и Бернхарду Риману, особенно в отношении распределения простых чисел. Кульминацией всего этого стала до сих пор не решенная гипотеза Римана, которую часто называют важнейшей нерешенной задачей всей математики. Гипотеза Римана позволяет очень точно предсказать появление простых чисел, а также отчасти объясняет, почему они так трудно даются математикам.
Открытия сделаные в начале 17-го века математиком Ферма, доказали гипотезу Альбера Жирара, что любое простое число вида 4n+1 можно записать уникальным образом в виде суммы двух квадратов, и также сформулировал теорему о том, что любое число можно представить в виде суммы четырёх квадратов.
Он разработал новый метод факторизации больших чисел, и продемонстрировал его на числе 2027651281 = 44021*46061. Также он доказал Малую теорему Ферма: если p — простое число, то для любого целого a будет верно ap = a modulo p.
Это утверждение доказывает половину того, что было известно как «китайская гипотеза», и датируется 2000 годами ранее: целое n является простым тогда и только тогда, если 2n-2 делится на n. Вторая часть гипотезы оказалась ложной — к примеру, 2341 — 2 делится на 341, хотя число 341 составное: 341 = 31*11.
 
Малая теорема Ферма послужила основой множества других результатов в теории чисел и методов проверки чисел на принадлежность к простым — многие из которых используются и по сей день.
Ферма много переписывался со своими современниками, в особенности с монахом по имени Марен Мерсенн. В одном из писем он высказал гипотезу о том, что числа вида 2n+1 всегда будут простыми, если n является степенью двойки. Он проверил это для n = 1, 2, 4, 8 и 16, и был уверен, что в случае, когда n не является степенью двойки, число не обязательно получалось простым. Эти числа называются числами Ферма, и лишь через 100 лет Эйлер показал, что следующее число, 232 + 1 = 4294967297 делится на 641, и следовательно, не является простым.
Числа вида 2n — 1 также служили предметом исследований, поскольку легко показать, что если n — составное, то и само число тоже составное. Эти числа называют числами Мерсенна, поскольку он активно их изучал.
 
Но не все числа вида 2n — 1, где n — простое, являются простыми. К примеру, 211 — 1 = 2047 = 23 * 89. Впервые это обнаружили в 1536 году.
Многие годы числа такого вида давали математикам наибольшие известные простые числа. Что число M19, было доказано Катальди в 1588 году, и в течение 200 лет было наибольшим известным простым числом, пока Эйлер не доказал, что M31 также простое. Этот рекорд продержался ещё сто лет, а затем Люкас показал, что M127 — простое (а это уже число из 39 цифр), и после него исследования продолжились уже с появлением компьютеров.
В 1952 была доказана простота чисел M521, M607, M1279, M2203 и M2281.
К 2005 году найдено 42 простых чисел Мерсенна. Наибольшее из них, M25964951, состоит из 7816230 цифр.
Работа Эйлера оказала огромное влияние на теорию чисел, в том числе и простых. Он расширил Малую теорему Ферма и ввёл ?-функцию. Факторизовал 5-е число Ферма 232+1, нашёл 60 пар дружественных чисел, и сформулировал (но не смог доказать) квадратичный закон взаимности.
Он первым ввёл методы математического анализа и разработал аналитическую теорию чисел. Он доказал, что не только гармонический ряд ∑ (1/n), но и ряд вида

1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + 1/11 +…

получаемый суммой величин, обратных к простым числам, также расходится. Сумма n членов гармонического ряда растёт примерно как log(n), а второй ряд расходится медленнее, как log[ log(n) ]. Это значит, что, например, сумма обратных величин ко всем найденным на сегодняшний день простым числам даст всего 4, хотя ряд всё равно расходится.

На первый взгляд кажется, что простые числа распределены среди целых довольно случайно. К примеру, среди 100 чисел, идущих прямо перед 10000000, встречается 9 простых, а среди 100 чисел, идущих сразу после этого значения – всего 2. Но на больших отрезках простые числа распределены достаточно равномерно. Лежандр и Гаусс занимались вопросами их распределения. Гаусс как-то рассказывал другу, что в любые свободные 15 минут он всегда подсчитывает количество простых в очередной 1000 чисел. К концу жизни он сосчитал все простые числа в промежутке до 3 миллионов. Лежандр и Гаусс одинаково вычислили, что для больших n плотность простых чисел составляет 1/log(n). Лежандр оценил количество простых чисел в промежутке от 1 до n, как

π(n) = n/(log(n) — 1.08366)

А Гаусс – как логарифмический интеграл

π(n) = ∫ 1/log(t) dt

с промежутком интегрирования от 2 до n.
 
Утверждение о плотности простых чисел 1/log(n) известно как Теорема о распределении простых чисел. Её пытались доказать в течение всего 19 века, а прогресса достигли Чебышёв и Риман. Они связали её с гипотезой Римана – по сию пору не доказанной гипотезой о распределении нулей дзета-функции Римана. Плотность простых чисел была одновременно доказана Адамаром и Валле-Пуссеном в 1896 году.
В теории простых чисел есть ещё множество нерешённых вопросов, некоторым из которых уже многие сотни лет:

• • гипотеза о простых числах-близнецах – о бесконечном количестве пар простых чисел, отличающихся друг от друга на 2

• • гипотеза Гольдбаха: любое чётное число, начиная с 4, можно представить в виде суммы двух простых чисел

• • бесконечно ли количество простых чисел вида n²+ 1 ?

• • всегда ли можно найти простое число между n²and (n + 1) ²? (факт, что между n и 2n всегда есть простое число, было доказан Чебышёвым)

• • бесконечно ли число простых чисел Ферма? есть ли вообще простые числа Ферма после 4-го?

• • существует ли арифметическая прогрессия из последовательных простых чисел для любой заданной длины? например, для длины 4: 251, 257, 263, 269. Максимальная из найденных длина равна 26.

• • бесконечно ли число наборов из трёх последовательных простых чисел в арифметической прогрессии?

• • n²— n + 41 – простое число для 0 ≤ n ≤ 40. Бесконечно ли количество таких простых чисел? Тот же вопрос для формулы n² — 79 n + 1601. Эти числа простые для 0 ≤ n ≤ 79.

• • бесконечно ли количество простых чисел вида n# + 1? (n# — результат перемножения всех простых чисел, меньших n)

• • бесконечно ли количество простых чисел вида n# -1 ?

• • бесконечно ли количество простых чисел вида n! + 1?

• • бесконечно ли количество простых чисел вида n! – 1?

• • если p – простое, всегда ли 2^p-1 не содержит среди множителей квадратов простых чисел

• • содержит ли последовательность Фибоначчи бесконечное количество простых чисел?

Некоторые считают, что простые числа не стоят глубокого изучения, но они имеют фундаментальное значение для математики. Каждое число может быть представлено уникальным способом в виде простых чисел, умноженных друг на друга. Это значит, что простые числа — это «атомы умножения», маленькие частички, из которых может быть построено что-то большое.
Так как простые числа — это строительные элементы целых чисел, которые получаются с помощью умножения, многие проблемы целых чисел могут быть сведены к проблемам простых чисел. Подобным образом некоторые задачи в химии могут быть решены с помощью атомного состава химических элементов, вовлеченных в систему. Таким образом, если бы существовало конечное число простых чисел, можно было бы просто проверить одно за другим на компьютере. Однако оказывается, что существует бесконечное множество простых чисел, которые на данный момент плохо понимают математики.

 

У простых чисел существует огромное количество применений как в области математики, так и за ее пределами. Простые числа в наши дни используются практически ежедневно, хотя чаще всего люди об этом не подозревают. Простые числа представляют такое значение для ученых, поскольку они являются атомами умножения. Множество абстрактных проблем, касающихся умножения, можно было бы решить, если бы люди знали больше о простых числах. Математики часто разбивают одну проблему на несколько маленьких, и простые числа могли бы помочь в этом, если бы понимали их лучше.

Вне математики основные способы применения простых чисел связаны с компьютерами. Компьютеры хранят все данные в виде последовательности нулей и единиц, которая может быть выражена целым числом. Многие компьютерные программы перемножают числа, привязанные к данным. Это означает, что под самой поверхностью лежат простые числа. Когда человек совершает любые онлайн-покупки, он пользуется тем, что есть способы умножения чисел, которые сложно расшифровать хакеру, но легко покупателю. Это работает за счет того, что простые числа не имеют особенных характеристик — в противном случае злоумышленник мог бы получить данные банковской карты.

 

Один из способов нахождения простых чисел — это компьютерный поиск. Путем многократной проверки того, является ли число множителем 2, 3, 4 и так далее, можно легко определить, простое ли оно. Если оно не является множителем любого меньшего числа, оно простое. В действительности это очень трудоемкий способ выяснения того, является ли число простым. Однако существуют более эффективные пути это определить. Эффективность этих алгоритмов для каждого числа является результатом теоретического прорыва 2002 года.

Простых чисел достаточно много, поэтому если взять большое число и прибавить к нему единицу, то можно наткнуться на простое число. В действительности многие компьютерные программы полагаются на то, что простые числа не слишком трудно найти. Это значит, что, если вы наугад выберете число из 100 знаков, ваш компьютер найдет большее простое число за несколько секунд. Поскольку 100-значных простых чисел больше, чем атомов во Вселенной, то вполне вероятно, что никто не будет знать наверняка, что это число простое.

Как правило, математики не ищут отдельных простых чисел на компьютере, однако они очень заинтересованы в простых числах с особыми свойствами. Есть две известные проблемы: существует ли бесконечное количество простых чисел, которые на один больше, чем квадрат (например, это имеет значение в теории групп), и существует ли бесконечное количество пар простых чисел, отличающихся друг от друга на 2.

Самое большое простое число, вычисленное проектом GIMPS [Great Internet Mersenne Prime Search], можно посмотреть в таблице на официальной странице проекта.

 

Самые большие близнецы среди простых чисел – это 2003663613 × 2195000 ± 1. Они состоят из 58711 цифр, и были найдены в 2007 году.
Самое большое факториальное простое число (вида n! ± 1) – это 147855! — 1. Оно состоит из 142891 цифр и было найдено в 2002.
Наибольшее праймориальное простое число (число вида n# ± 1) – это 1098133# + 1.
Чтобы записать новое простое число, найденное математиками, потребовалась бы книга более, чем в 7 тысяч страниц. Оно – это небывало большое число – состоит из 23 249 425 цифр. Обнаружить его удалось благодаря проекту распределенных вычислений GIMPS (Great Internet Mersenne Prime Search).
Простые числа – это такие, которые делятся на единицу и на самих себя. И больше ни на что. Найденное ныне относится еще и к так называемым числам Мерсенна, которые имеют вид 2 в степени n минус 1. Выразить рекордное число можно как 2 в степени 77232917 минус 1. Оно стало 50 известным числом Мерсенна.
Простые числа используют в криптографии – для шифрования. Они стоят немалых денег. Например, в 2009 году за одно из простых чисел было выплачена премия в $100 тысяч.
Несмотря на то, что простые числа изучаются уже более трех тысячелетий и имеют простое описание, о простых числах до сих пор известно на удивление мало. Например, математики знают, что единственной парой простых чисел, отличающихся на единицу, являются 2 и 3. Однако неизвестно, существует ли бесконечное количество пар простых чисел, отличающихся на 2. Предполагается, что существует, но это пока не доказано. Это проблема, которую можно объяснить ребенку школьного возраста, однако величайшие математические умы ломают над ней голову уже более 100 лет.

 

Многие из наиболее интересных вопросов о простых числах как с практической, так и с теоретической точки зрения заключаются в том, какое количество простых чисел имеет то или иное свойство. Ответ на самый простой вопрос — сколько есть простых чисел определенного размера — теоретически можно получить, решив гипотезу Римана. Дополнительный стимул доказать гипотезу Римана — приз размером в один миллион долларов, предложенный математическим институтом Клэя, равно как и почетное место среди самых выдающихся математиков всех времен. 

Сейчас существуют неплохие способы предположить, каким будет правильный ответ на многие из этих вопросов. На данный момент догадки математиков проходят все численные эксперименты, и есть теоретические основания, чтобы на них полагаться. Однако для чистой математики и работы компьютерных алгоритмов чрезвычайно важно, чтобы эти догадки действительно были верными. Математики могут быть полностью удовлетворены, только имея неоспоримое доказательство. 

Самым серьезным вызовом для практического применения является сложность нахождения всех простых множителей числа. Если взять число 15, можно быстро определить, что 15=5х3. Но если взять 1000-значное число, вычисление всех его простых множителей займет больше миллиарда лет даже у самого мощного суперкомпьютера в мире. Интернет-безопасность во многом зависит от сложности таких вычислений, потому для безопасности коммуникации важно знать, что кто-то не может просто взять и придумать быстрый способ найти простые множители.
Сейчас невозможно сказать, как простые числа будут использоваться в будущем. Чистая математика (например, изучение простых чисел) неоднократно находила способы применения, которые могли показаться совершенно невероятными, когда теория впервые разрабатывалась. Снова и снова идеи, воспринимавшиеся как чудной академический интерес, непригодный в реальном мире, оказывались на удивление полезными для науки и техники. Годфри Харольд Харди, известный математик начала XX столетия, утверждал, что простые числа не имеют реального применения. Сорок лет спустя был открыт потенциал простых чисел для компьютерной коммуникации, и сейчас они жизненно необходимы для повседневного использования интернета.

 

Поскольку простые числа лежат в основе проблем, касающихся целых чисел, а целые числа постоянно встречаются в реальной жизни, простым числам найдется повсеместное применение в мире будущего. Это особенно актуально, учитывая, как интернет проникает в жизнь, а технологии и компьютеры играют большую роль, чем когда-либо раньше. 

Существует мнение, что определенные аспекты теории чисел и простых чисел выходят далеко за рамки науки и компьютеров. В музыке простые числа объясняют, почему некоторые сложные ритмические рисунки долго повторяются. Это порой используется в современной классической музыке для достижения специфического звукового эффекта. Последовательность Фибоначчи постоянно встречается в природе, и есть гипотеза о том, что цикады эволюционировали таким образом, чтобы находиться в спячке в течение простого числа лет для получения эволюционного преимущества. Также предполагается, что передача простых чисел по радиоволнам была бы лучшим способом для попытки установления связи с инопланетными формами жизни, поскольку простые числа абсолютно независимы от любого представления о языке, но при этом достаточно сложны, чтобы их нельзя было спутать с результатом некоего в чистом виде физического природного процесса.

Спасибо за интерес. Оценивайте, ставьте лайк, комментируйте, делитесь. Подписывайтесь.